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Première image d’une sphère réduite en 3D : faire entrer la surface de la Terre à l'intérieur d'une balle de ping-pong

Dans les années 1950, Nicolas Kuiper et le prix Nobel John Nash ont démontré l’existence d’une vaste classe d’objets mathématiques paradoxaux tels que des tores plats en 3D ou de sphères réduites, sans pouvoir toutefois les visualiser. Une équipe de mathématiciens et d’informaticiens du GIPSA-lab (CNRS/Grenoble-INP/UGA), du laboratoire Jean Kuntzmann (CNRS/UGA/Grenoble-INP) et de l’Institut Camille Jordan (CNRS/Universités Claude Bernard Lyon 1 et Jean Monnet/Ecole centrale de Lyon/INSA de Lyon) a réussi à construire et représenter visuellement une sphère réduite, cinq ans après avoir obtenu la première image d’un tore plat en 3D1.
Les sphères, connues pour être rigides, ne peuvent pas être déformées isométriquement2, c'est à dire en préservant les longueurs des courbes, avec une régularité de classe C2. En se basant sur la théorie mathématique de l’intégration convexe3, les chercheurs sont parvenus à placer une sphère à l'intérieur d'une boule de rayon arbitrairement petit. Si l'on assimile la surface de la Terre à une sphère ronde, cette théorie permet de réduire son diamètre à celui d'un modèle réduit de globe terrestre ou d'une balle ping-pong tout en préservant les distances géodésiques4. La surface obtenue, très déformée, se compose de deux calottes sphériques, parfaitement lisses, connectées par une bande équatoriale fortement déformée. Les chercheurs montrent que ce changement de structure géométrique est similaire à celui observé lorsqu'on relie une courbe de von Koch à un segment de droite (voir figure 3). Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles. Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l'analyse de la géométrie des formes. Leurs résultats ont été publiés dans la revue Foundations of Computational Mathematics, le 6 juillet 2017.

 

          

De gauche à droite : Sphère corruguée et sphère unité  l  Globe terrestre isométrique  /  Surface de Von Koch    © Projet Hévéa

 

 

En savoir plus

 

Référence

An explicit isometric reduction of the unit sphere into an arbitrarily small ball Evangelis, Bartzos, Vincent Borrelli, Roland Denis, Francis Lazarus, Damien Rohmer, Boris Thibert, Foundations of Computational Mathematics, 6 juillet 2017.

 

Notes

1http://www2.cnrs.fr/presse/communique/2583.htm

2Le résultat de John Nash et Nicolas Kuiper montre que ce n'est plus le cas si l'on autorise des déformations moins régulières, de classe C¹.

3Utilisée dans la détermination de solutions atypiques d’équations aux dérivées partielles.

4Sur le cercle, la distance géodésique est la longueur du plus petit arc de cercle joignant les deux points.

 

Contacts

Grenoble Images Parole Signal Automatique (GIPSA-lab - CNRS / Grenoble INP / UGA) :
Francis Lazarus l T. 04 76 82 64 67 l francis.lazarus@gipsa-lab.grenoble-inp.fr  

Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK - CNRS / Grenoble INP / UGA) :
Boris Thibert l T. 04 57 42 17 84 l boris.thibert@univ-grenoble-alpes.fr

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